¿Cómo se interpreta la probabilidad de penetración de la barrera por parte de electrones con energía menor que la altura de la barrera?

Llegando (como casi siempre en esta serie) a resultados contrarios a nuestra intuición, pero inevitables si aceptamos las formulaciones de Schrödinger y Heisenberg. Como espero que recuerdes, lo más extraño de todo era la capacidad de una partícula de llegar a lugares en los que, de acuerdo con la física clásica, no tiene suficiente energía para estar.

Nuestro “pozo finito” de la entrada anterior tenía, como espero que recuerdes, tres regiones distintas. En el centro se encontraba el “interior” del pozo, en el que la energía requerida era nula y la partícula en nuestro ejemplo, un electrón tenía derecho a estar de acuerdo con Newton. A los lados de esa región central había sendos “escalones de energía”, de modo que el pozo estaba confinado por esas dos regiones de mayor energía:

Como siempre, en la horizontal se representa la dimensión espacial y en la vertical la energía necesaria para estar en ese punto. Y, como siempre, este tipo de diagramas se llaman “pozos de potencial”, pero puesto que las conclusiones son equivalentes al usar energía y casi todos estamos más familiarizados con ese concepto que con el de potencial, aquí usamos diagramas de energía.

El dibujo de arriba es algo así como un pozo en el suelo, de modo que las regiones laterales son el terreno y la central el fondo del pozo. Pero supongamos que esas dos regiones laterales no se extienden indefinidamente, sino que llega un momento en el que se acaban, y volvemos a tener una energía necesaria nula más allá de ellas: en ese caso no se trata tanto de un “pozo” como de una “caja” o un “cuenco”, que tiene bordes que confinan algo dentro, pero más allá de esos bordes la energía requerida es la misma que dentro de la caja:

Puede parecer al principio que la diferencia entre el diagrama de arriba y el de abajo es muy pequeña: al fin y al cabo, si estás encerrado dentro de un pozo o una caja, ¿qué mas da si más allá de las paredes hay algo, o las paredes se extienden hasta el infinito? Ah, pero a estas alturas, estimado y perspicaz lector deEl Tamiz, espero que respondas rápidamente “¡Claro que importa, y mucho!”. Por supuesto que importa, porque de acuerdo con la mecánica cuántica no estás encerrado de manera absoluta.

Como vimos en el artículo anterior de la serie, existe una posibilidad de encontrar el electrón en la región “prohibida”. Esa posibilidad depende de la energía que le falta al electrón y de la distancia penetrada en la región “prohibida”, de modo que la probabilidad disminuye de forma exponencial con la distancia, pero no es nula:

En la región interior, en la que el electrón tiene derecho a estar clásicamente, tenemos una onda estacionaria que describimos en la entrada anterior. Dentro de la barrera, la función de onda disminuye exponencialmente. Imagina entonces que la región prohibida, la “pared de la caja” es muy delgada. Sí, la función de onda en la pared disminuye muy rápidamente, pero cuando llegamos al borde exterior de la pared la amplitud de la onda sigue siendo no nula, de modo que al llegar al exterior tenemos una onda de amplitud más pequeña que la del interior, pero que está innegablemente ahí.

Puedes imaginarlo, en términos de ondas luminosas, de la siguiente manera: la pared de la caja es un material absorbente. Pero sólo hay dos maneras de absorber completamente la onda de modo que no escape de la caja: o bien el material es absolutamente opaco y absorbente (la energía de la barrera es infinita, como en el artículo del Pozo infinito), o bien el espesor del material es infinito. En cualquier otra situación una parte de la luz conseguirá atravesar la barrera, aunque sea una parte muy pequeña. Una vez más la naturaleza ondulatoria, “borrosa” de la materia hace que las partículas se comporten de maneras incompatibles con la mecánica clásica.

Naturalmente, si la energía de la pared es muy grande comparada con la del electrón, o su espesor es suficientemente grande, la probabilidad de encontrar al electrón fuera de la caja es prácticamente nula. Pero, en cualquier caso, van a suceder dos cosas que no ocurrían cuando las paredes, como en la entrega anterior de la serie, eran infinitas:

En primer lugar, existe una onda “normal”, que no disminuye exponencialmente, fuera de la caja, puesto que si el electrón se encuentra ahí tiene la suficiente energía como para moverse libremente de acuerdo con la mecánica clásica. El material fuera de las paredes es “transparente”. Esa onda puede tener una amplitud muy pequeña si las paredes eran gruesas o de gran energía, pero siempre va a estar ahí, y representa al electrón que ha conseguido escapar de la caja.

En segundo lugar, recuerda uno de los conceptos que establecimos al hablar de la mecánica ondulatoria de Schrödinger: la probabilidad total de encontrar al electrón en alguna parte es siempre del 100%. Esto quiere decir que, si existe una probabilidad no nula de encontrar al electrón fuera de la caja, la probabilidad de encontrarlo dentro de la caja es más pequeña que antes. Cuanto más delgada sea la barrera y menor sea su energía, más se parecerá la onda dentro de la caja a la onda fuera, y más parecida será la probabilidad de encontrar al electrón en un punto dentro o fuera de la caja. Por el contrario, si las paredes son gruesas y “altas”, la onda dentro de la caja será casi idéntica a la del caso del pozo finito (tal vez un poquito más baja), mientras que la onda fuera de la caja será casi inapreciable.

El resultado gráfico es algo así:

También puede ayudarte a verlo la siguiente animación, en la que la probabilidad se representa con el brillo de cada punto en vez de con la altura de una función. En ella se observa un paquete de ondas que incide desde la izquierda sobre una barrera (la línea vertical gruesa). La mayor parte de la onda se refleja en la barrera (lo que representa la probabilidad de que el electrón rebote en la barrera), pero hay un tenue “fantasma” que atraviesa la barrera y continúa su camino por el otro lado:
     Puesto que parece que el electrón atraviesa una barrera que no debería atravesar, como si hiciera un “túnel” a través de ella, este fenómeno se denomina efecto túnel. Desde luego, no hay ningún túnel y el electrón tiene todo el derecho del mundo a atravesar la barrera. Y, por supuesto, no tiene por qué tratarse de un electrón: cualquier partícula “encerrada” dentro de un potencial de cualquier tipo experimenta este fenómeno.

Como sucede con tantos otros efectos cuánticos, las probabilidades involucradas suelen ser tan pequeñas que no somos conscientes de ellos: si no fuera así hubiésemos desarrollado una mecánica que los incluyese desde el principio, y serían perfectamente intuitivos para nosotros. Pero esto no quiere decir que nunca se produzca el efecto túnel: se produce todo el tiempo en la naturaleza y explica cosas que eran imposibles de entender antes de conocerlo.
Algunos núcleos atómicos, al cabo de un tiempo relativamente corto, se desintegran de forma espontánea en otros más ligeros, liberando partículas alfa (núcleos de helio, formados por dos protones y dos neutrones) en el proceso. Uno de los ejemplos más conocidos es el del uranio-238, el isótopo más común del uranio (más del 99% del uranio natural es uranio-238). Como probablemente sabes, el uranio-238 es inestable y al cabo del tiempo se desintegra. Aquí tienes la reacción nuclear en cuestión, un ejemplo de lo que se conoce como desintegración alfa:

²³⁸U → ²³⁴Th + α

Lo que se produce entonces es un átomo de torio y un núcleo de helio (la partícula alfa). De hecho, la mayor parte del helio que existe en la Tierra ahora mismo es el resultado de esta reacción de desintegración. Y esa desintegración se produce en un momento determinado para cada átomo de uranio, un momento que es imposible predecir. Los científicos eran capaces de estimar la vida media de los átomos de uranio observando enormes cantidades de ellos y midiendo la rapidez con la que se desintegraban: esa vida media es, en el caso del uranio-238, de unos 4 460 millones de años, similar a la edad de la Tierra, de ahí que se utilice como método de datación a escala geológica.

Dicho de otra manera, si tienes un número muy grande de átomos de uranio-238 y esperas 4 460 millones de años, más o menos la mitad de los átomos iniciales se habrán desintegrado. Pero si miras un único átomo de uranio-238 de esa muestra, no hay manera posible de saber cuándo va a desintegrarse: puede hacerlo dos segundos después de que empieces a mirarlo, o tal vez no lo haga durante la vida del Universo. ¿Por qué diablos sucede esto, y qué determina que se produzca en uno u otro momento?

La respuesta la dio el genial Georgiy Antonovich Gamov (más conocido como George Gamow tras su huida de la Unión Soviética) en 1928, aplicando la mecánica ondulatoria de Schrödinger al núcleo atómico y utilizando las condiciones de contorno adecuadas. La fuerza nuclear que contiene las partículas en el núcleo actúa como una “caja de energía” similar a las que hemos dibujado en este artículo. Dependiendo de la estructura del núcleo, la “altura” y el “espesor” de las paredes de la caja es diferente.

De acuerdo con la mecánica clásica, las partículas del núcleo están confinadas en él y nunca pueden escapar, pues no tienen la energía suficiente, pero la mecánica cuántica y el efecto túnel permitían que, a veces, fuera posible encontrar una de esas partículas fuera del núcleo. Al calcular la probabilidad de que esto ocurriera, la vida media y la energía de las partículas alfa producidas utilizando las ecuaciones de Schrödinger, Gamov obtuvo resultados que coincidían perfectamente con los experimentales — la desintegración alfa era una consecuencia inevitable de la naturaleza cuántica de la materia.

Desde el punto de vista clásico, debía haber algo que desencadenase la desintegración, y el hecho de que no pudiéramos predecir cuándo se produciría era el reflejo de tener una información incompleta sobre el sistema (pero los físicos clásicos eran incapaces de decir qué era ese algo que desconocíamos o por qué no podíamos detectarlo). Pero, de acuerdo con Gamov, la incapacidad de predecir ese momento se debe a la propia naturaleza probabilística de los fenómenos naturales: no hay nada más allá que determine lo que no podemos predecir, la Naturaleza es impredecible por su carácter cuántico.

De modo que, cuando sostengas un globo de helio en la mano, recuerda que la mayor parte de ese helio es el resultado de una partícula alfa que escapa de un núcleo de uranio debido al efecto túnel. La mecánica cuántica no es sólo un manojo de ecuaciones, refleja la naturaleza del Universo en el que vivimos. Pero es que la cosa no acaba ahí.

Como he dicho al principio, la amplitud de la onda dentro de la zona “prohibida” disminuye muy rápidamente: lo hace de forma exponencial. Esto quiere decir que si, por ejemplo, la barrera se hace el doble de gruesa de modo que el electrón debe recorrer el doble de distancia por la zona “prohibida”, la probabilidad de encontrarlo al otro lado no es la mitad: es mucho más pequeña debido a la disminución exponencial.

Dicho de otro modo: la probabilidad de que el electrón atraviese la barrera es extraordinariamente sensible al espesor de la barrera, de modo que cambia bruscamente cuando lo hace el espesor, mucho más bruscamente que el propio espesor. Esto hace que se pueda emplear el efecto túnel para medir distancias con una precisión absolutamente increíble. Permite que, como de costumbre, trate de explicar cómo se logra esto de manera simple.

Imagina la siguiente situación: tenemos electrones confinados en una punta de metal finísima, y acercamos esa punta de metal a un material determinado. Los electrones no tienen suficiente energía como para saltar del metal al material… pero de acuerdo con la mecánica cuántica, algunos de ellos inevitablemente lo harán. La cantidad de electrones que lo consiguen “saltar” a través del espacio de separación entre nuestra punta de metal y el material depende de la distancia entre la punta y el material mediante el efecto túnel. Al variar la distancia de separación, la cantidad de electrones que “tunelean” varía de una manera tremendamente brusca — exponencialmente brusca, lo que permite determinar esa distancia de separación con una precisión extrema.

Superficie de oro vista a través de un microscopio de efecto túnel. Pueden distinguirse los átomos individuales.

Tan extrema, de hecho, que es posible alcanzar una resolución lateral de unos 0,1 nanómetros y una resolución en profundidad de unos 0,01 nanómetros, lo que permite, al traducir esa información a imágenes que podemos ver en una pantalla, visualizar átomos individuales. Si has entendido este artículo, comprendes como funciona un microscopio de efecto túnel.

¿Verdad que es irónico? Un efecto cuántico que hace imposible predecir cuándo cualquiera de esos electrones va a atravesar la barrera, un efecto que vuelve nuestro mundo “borroso”, nos permite ver la materia con una precisión y nitidez que no sería posible si el Universo fuera clásico. Nitidez a través de la turbiedad: la cuántica en estado puro.

Interpretación del efecto túnel y sus aplicaciones prácticas.

El efecto túnel puede ser explicado a partir del concepto de ondas de probabilidad. Consideremos el balanceo de una bola en una colina con subidas y bajadas sin fricción, según lo mostrado en la figura, suponga que la bola esta sostenida momentáneamente y se suelta de la posición A,esta rodara cuesta abajo y subira la colina hacia la posicion C, nunca podrá llegar a una altura mas alta que el nivel del punto A, podrá llegar a la posicion B, que esta en la misma altura que A,la bola ira hacia arriba y hacia 

abajo,oscilando entre los puntos A y B, para siempre. No hay forma por la cual la bola pueda pasar a la posición D dentro del dominio de la mecanica Newtoniana,pero esto es exactamente lo que ocurre en el dominio de la mecanica cuantica. La bola puede rodar cuesta abajo en la otra cara de la colina,despues de subir hasta la posicion B, esta se materializa en la otra cara,esto se denomina efecto tunel en la mecanica cuantica.

Si un hombre tira una pelota contra una pared,la bola rebota devuelta,de acuerdo a las leyes de la fisica cuántica,la bola puede penetrar a traves de un túnel por la pared,pero debido que la bola es un objeto macroscopico,las posibilidades de que esto ocurra, es infinitamente pequena.

Dos metales separados por un vacio,se aproximan a esta situacion,los electrones en el metal son bolas  y el vació representa la pared.Los electrones no tienen suficiente energia para escapar a traves del vació,pero,los dos metales pueden intercambiar electrones por efecto tunel,si estos estan suficientemente próximos,la probabilidad de que esto suceda es grande,porque los electrones son partículas microscópicas.

A escala cuántica, los objetos exhiben un comportamiento ondular; en la teoría cuántica, un cuanto moviéndose en dirección a una "colina" potencialmente energética puede ser descrito por su función de onda, que representa la amplitud probable que tiene la partícula de ser encontrada en la posición allende la estructura de la curva. Si esta función describe la posición de la partícula perteneciente al flanco adyacente al que supuso su punto de partida, existe cierta probabilidad de que se haya desplazado "a través" de la estructura, en vez de superarla por la ruta convencional que atraviesa la cima energética relativa. A esto se conoce como efecto túnel.

El tunelaje a través de una barrera  es un fenómeno muy interesante y peculiar ya que cuando una partícula incide en una barrera de altura y ancho finitos, se interpreta,  clásicamente la partícula rebota debido a que no tiene suficiente energía para cruzar e incluso penetrar la barrera. Sin embargo, de acuerdo con la mecánica cuántica, todas la regiones son accesibles a la partícula, sin que importe su energía debido a que la amplitud de la onda de la materia asociada a la partícula es diferente de cero en todos lados (excepto en ciertos puntos). Debido a la probabilidad de localizar a la partícula es proporcional a ǀᴪǀ*2, se concluye que la posibilidad de de localizar a la partícula más allá de la barrera. esta penetración  de la barrera esta en completo de acuerdo con la mecánica clásica. la posibilidad de que la partícula penetra la barrera se denomina tunelaje o penetración de barrera. cualquier intento para observar la partícula  dentro de la barrera  y confirmar el valor de su energía es frustrado por el principio de incertidumbre. Si ocurre el tunelaje, la barrera debe ser  suficientemente estrecha y baja, para permitir una medición de la posición y momento de la partícula  consiste en las expectativa.Este resultado sorprendente surge de nuestra visión clásica de la barrera como si fuera continua. en la practica, las barreras por lo común estan formadas por particulas de posición incierta, de modo muy similar al de centinelas errantes fuera del campamento. En ocasiones los intrusos  pueden penetrar las barreras de centinelas y entrar al campo.

la probabilidad de tunaje puede describirse con un coeficiente de transmisión, T, y un coeficiente de reflexión, R. el coeficiente de transmisión mide la probabilidad de que la partícula penetre la barrera, y el coeficiente de reflexión es la probabilidad de que la partícula sea reflejada por la barrera. 

Algunas aplicaciones de tunelaje

como hemos visto, el tunelaje es un fenómeno cuántico, una manifestación de la naturaleza ondulatoria de la materia, hay muchos ejemplos en la naturaleza en las escalas atómica y nuclear que pueden comprenderse solo con base en el tunelaje.

• Diodo túnel. Es un dispositivo semiconductor que se compone de dos regiones cargadas opuestamente y separadas por una región neutra muy estrecha. La corriente eléctrica, o tasa de tunelaje, puede controlarse sobre un amplio intervalo variando el voltaje de polarización, lo cual cambia la energia de los electrones de tunelaje.
• Unión Josephson. Consta de dos superconductores separados por una capa de oxido aislante delgada, de 1 a 2 nm de espesor. En condiciones apropiadas, los electrones en los superconductores viajan como un par y efectúan tunelaje de un superconductor a otro a través de una capa de oxido. se han observado varios efectos en este tipo de unión. Un ejemplo de ello es la corriente directa se observa a través de la unión en ausencia de campos eléctricos o magnéticos. 
• Decaimiento alfa. Una forma de decaimiento radiactivo es la emisión de la partícula alfa (los núcleos de los átomos de helio) por medio de núcleos pesados e inestables. Para escapar del nucleo, una partícula debe penetrar una barrera varias veces mayor que su energía. La barrera se debe a una combinación de la fuerza nuclear atractiva y de la repulsión de Coulomb entre la partícula alfa y el resto de los núcleos. Ocasionalmente, una partícula alfa realiza tunelaje a través de la barrera, lo cual explica el mecanismo básico de este tipo de decaimiento y las grandes variaciones en los tiempos de la vida media de diversos núcleos radiactivos.

Implicaciones de la teoría probabilística en el análisis de los fenómenos físicos. Su contrastación con las teorías causalistas

     La ciencia, en su avance por comprender el mundo, a veces olvida la simplicidad en favor de teorías más completas y complejas, aunque no por ello totalmente válidas. antes de comenzar a tratar sobre la teoría probabilista que trabajo diversos conflictos del entendimiento de la mecánica cuántica, es fundamental  hablar sobe el azar que se dice que es el punto donde la ciencia  toca la ignorancia, es decir, el científico no es capaz de argumentar con su lenguaje algunos fenómenos o sucesos de la realidad, por lo tanto lo justifica por media del concepto del azar, lo cual como no es completamente cierto, ya que  todos hemos escuchado de los "juegos de azar"; si bien por ejemplo en estos el comportamiento de las cartas y dados parece completamente imposible de predecir, la verdad es que la ciencia a través de las matemáticas conoce perfectamente la manera en que se comportan estos juegos, e incluso es posible determinar el desarrollo de los mismos mediante complejos cálculos. Por lo mismo es que en muchos casinos se revisa a los visitantes para asegurarse de que no porten computadoras o aparatos especialmente programados para realizar este tipo de cálculos y lograr de esta manera una ventaja sobre el casino. En la ciencia cuando se habla de azar en realidad nos referimos a un asunto probabilístico, teoréticamente calculable si se tienen y se conocen los parámetros; pero ¿Qué es la teoría probabilística? Se dice que mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) y luego al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia  y la filosofía  para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos. La idea de Probabilidad está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las  encuestas. Pierre Simon Laplace afirmó: "Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a ser el objeto más importante del conocimiento humano". Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito. La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster- shafer  y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad. Se puede decir que la probabilidad es la medida de nuestro grado de incertidumbre, o esto es, el grado de nuestra ignorancia dada una situación. La física moderna proporciona ejemplos importantes de situaciones determinísticas donde sólo la descripción probabilística es factible debido a información incompleta y la complejidad de un sistema así como ejemplos de fenómenos realmente aleatorios. En un universo determinista, basado en los conceptos newtonianos, no hay probabilidad si se conocen todas las condiciones. En el caso de una ruleta, si la fuerza de la mano y el periodo de esta fuerza es conocida, entonces el número donde la bola parará será seguro. Naturalmente, esto también supone el conocimiento de la inercia y la fricción de la ruleta, el peso, lisura y redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el movimiento y así sucesivamente. Una descripción probabilística puede entonces ser más práctica que la mecánica newtoniana para analizar el modelo de las salidas de lanzamientos repetidos de la ruleta. Los físicos se encuentran con la misma situación en la teoría cinética  de los gases, donde el sistema determinístico en principio, es tan complejo (con el número de moléculas típicamente del orden de magnitud de la constaten de avogadro 6 x10*23) que sólo la descripción estadística de sus propiedades es viable. La mecánica cuántica, debido al  principio de indeterminación de Heisenberg , sólo puede ser descrita actualmente a través de distribuciones de probabilidad, lo que le da una gran importancia a las descripciones probabilísticas. Algunos científicos hablan de la expulsión del paraíso. Otros no se conforman con la pérdida del determinismo. Albert Einstein comentó estupendamente en una carta a Max Born: (Estoy convencido de que Dios no tira el dado). No obstante hoy en día no existe un medio mejor para describir la física cuántica si no es a través de la teoría de la probabilidad. El cual trajo una confrontación entre Einstein  y Bohr, ya que Einstein fue el primero de los físicos en señalar que el descubrimiento de Plank del cuánto de acción (h) implicaba reescribir de nuevo la física. Con objeto de probar esta afirmación, en 1905 propuso que la luz actuaba a veces como una partícula a la que llamó cuanto de luz (actualmente llamado fotón). Bohr fue uno de los mayores oponentes verbales a la idea del fotón y no llegó a abrazarla abiertamente hasta 1925. Su posterior habilidad para trabajar creativamente con una idea a la que él se había resistido tan largamente es bastante inusual en la historia de la ciencia. El fotón llamó la atención a Einstein porque él lo vió como una realidad física (aunque confusa) detrás de los propios números. A Bohr le desagradaba porque hacía arbitraria ciertas soluciones matemáticas. No le gustaba que los científicos tuvieran que elegir entre distintas ecuaciones. 1913 trajo el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno que hacía uso del cuánto de Plank para explicar el espectro atómico. Einstein estuvo al principio dubitativo, pero rápidamente cambió su mente y lo aceptó. Él toleró el modelo de Bohr a pesar del hecho de que su realidad subyacente no podía ser representada en detalle, porque lo consideró un trabajo en progreso. Mucha gente hoy en día confunde el hecho de que la mecánica cuántica se describe a través de distribuciones de probabilidad con la suposición de que es por ello un proceso aleatorio, cuando la mecánica cuántica es probabilística no por el hecho de que siga procesos aleatorios sino por el hecho de no poder determinar con precisión sus parámetros fundamentales, lo que imposibilita la creación de un sistema de ecuaciones determinista.